-- FreeFem++ v4.6 (Thu Apr 2 15:47:38 CEST 2020 - git v4.6) Load: lg_fem lg_mesh lg_mesh3 eigenvalue 1 : // lotka_volterra.edp 2 : // 3 : // Discussion: 4 : // 5 : // Solve the reaction-diffusion equation of the Lotka-Volterra 6 : // predator-prey model. 7 : // 8 : // The differential reaction system is solved by a Strang splitting. 9 : // 10 : // Location: 11 : // 12 : // http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/freefem_src/lotka_volterra/lotka_volterra.edp 13 : // 14 : // Modified: 15 : // 16 : // 24 May 2020 17 : // 18 : // Author: 19 : // 20 : // Florian De Vuyst 21 : // 22 : // Reference: 23 : // 24 : // Florian De Vuyst, 25 : // Numerical modeling of transport problems using freefem++ software - 26 : // with examples in biology, CFD, traffic flow and energy transfer, 27 : // HAL id: cel-00842234 28 : // https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00842234 29 : // 30 : cout << "\n"; 31 : cout << "lotka_volterra\n"; 32 : cout << " FreeFem++ version\n"; 33 : cout << " Simulate the time evolution of the spatial dist ... : ribution of\n"; 34 : cout << " predator and prey species in a 2D domain.\n"; 35 : // 36 : // Set parameters. 37 : // 38 : real alpha = 0.5; 39 : real t = 0.0; 40 : real dt = 0.2; 41 : real nu = 0.001; 42 : real mu = 0.0001; 43 : real theta = 0.49; 44 : int it=0; 45 : // 46 : // Th: the mesh. 47 : // 48 : mesh Th = square ( 40, 40 ); 49 : // 50 : // Plot the mesh. 51 : // 52 : plot ( Th, ps = "lotka_volterra_mesh.ps" ); 53 : // 54 : // Define the finite element spaces. 55 : // 56 : fespace Vh ( Th, P2 ); 57 : fespace Wh ( Th, P1 ); 58 : Vh u, uh, uold; 59 : Vh v, vh, vold; 60 : Wh dxu, dyu, dxv, dyv; 61 : // 62 : // Define the weak form of the U equation. 63 : // 64 : problem heatu (u, uh, init=it) = 65 : int2d (Th) (u*uh/dt) 66 : - int2d (Th) (uold*uh/dt) 67 : + int2d (Th) (nu*(1.0-theta)*dx(u)*dx(uh) + nu*(1.0-theta)*dy(u)*dy(uh)) 68 : + int2d (Th) (nu*(theta)*dx(uold)*dx(uh) + nu*(theta)*dy(uold)*dy(uh)); 69 : // 70 : // Define the weak form of the V equation. 71 : // 72 : problem heatv (v, vh, init=it) = 73 : int2d (Th) (v*vh/dt) 74 : - int2d (Th) (vold*vh/dt) 75 : + int2d (Th) (mu*(1.0-theta)*dx(v)*dx(vh)+mu*(1.0-theta)*dy(v)*dy(vh)) 76 : + int2d (Th) (mu*(theta)*dx(vold)*dx(vh)+mu*(theta)*dy(vold)*dy(vh)); 77 : // 78 : // Initializing 79 : // 80 : u = 1.0 + 0.5 * cos ( 3.0 * pi * x ) * sin ( 3.0 * pi * y ); 81 : uold = u; 82 : v = 1.0 + 0.5 * sin ( 3.0 * pi * x ) * cos ( 3.0 * pi * x ); 83 : vold = v; 84 : // 85 : // Big loop in time 86 : // Fractional step method 87 : // 88 : for ( it = 0; it < 200; it++ ) 89 : { 90 : for ( int subit = 0; subit < 1; subit++ ) 91 : { 92 : t = t + dt; 93 : // 94 : // Step a. Solve the reaction system on ( dt /2) 95 : // 96 : u = u * exp ( alpha*(v-1.0)*dt*0.25 ); 97 : v = v * exp ( (1.0-u)*dt*0.5 ); 98 : u = u * exp ( alpha*(v-1.0)*dt*0.25 ); 99 : 100 : uold = u; 101 : vold = v; 102 : // 103 : // Step b. Solve the diffusion system on ( dt ) 104 : // 105 : heatu; 106 : uold = u; 107 : heatv; 108 : vold = v; 109 : // 110 : // Step c. Solve the reaction system on ( dt /2) 111 : // 112 : u = u * exp ( alpha*(v-1.0)*dt*0.25 ); 113 : v = v * exp ( (1.0-u)*dt*0.5); 114 : u = u * exp ( alpha*(v-1.0)*dt*0.25 ); 115 : uold = u; 116 : vold = v; 117 : } 118 : // 119 : // Display current solution to the interactive screen. 120 : // 121 : plot ( u, nbiso=40, value=1, fill=1, cmm="U species" ); 122 : plot ( v, nbiso=40, value=1, fill=1, cmm="V species" ); 123 : } 124 : // 125 : // Save the final images. 126 : // 127 : plot ( u, nbiso=40, value=1, fill=1, ps="lotka_volterra_u.ps", cmm="U species" ); 128 : plot ( v, nbiso=40, value=1, fill=1, ps="lotka_volterra_v.ps", cmm="V species" ); 129 : // 130 : // Terminate. 131 : // 132 : cout << "\n"; 133 : cout << "lotka_volterra:\n"; 134 : cout << " Normal end of execution.\n"; 135 : 136 : sizestack + 1024 =13944 ( 12920 ) lotka_volterra FreeFem++ version Simulate the time evolution of the spatial distribution of predator and prey species in a 2D domain. -- Square mesh : nb vertices =1681 , nb triangles = 3200 , nb boundary edges 160 -- Solve : min 0.516089 max 1.48688 -- Solve : min 0.72613 max 1.2934 -- Solve : min 0.533346 max 1.4675 -- Solve : min 0.682532 max 1.3846 -- Solve : min 0.553276 max 1.44115 -- Solve : min 0.646334 max 1.4772 -- Solve : min 0.577547 max 1.40672 -- Solve : min 0.617077 max 1.5681 -- Solve : min 0.606196 max 1.36777 -- Solve : min 0.594008 max 1.65228 -- Solve : min 0.640413 max 1.32534 -- Solve : min 0.576118 max 1.72797 -- Solve : min 0.678996 max 1.28072 -- Solve : min 0.563718 max 1.78772 -- Solve : min 0.720523 max 1.23535 -- Solve : min 0.555614 max 1.8316 -- Solve : min 0.764399 max 1.18998 -- Solve : min 0.551903 max 1.85234 -- Solve : min 0.810093 max 1.15365 -- Solve : min 0.55219 max 1.85283 -- Solve : min 0.839428 max 1.18834 -- Solve : min 0.551617 max 1.88912 -- Solve : min 0.857817 max 1.25962 -- Solve : min 0.546526 max 1.90192 -- Solve : min 0.846614 max 1.33087 -- Solve : min 0.546047 max 1.88756 -- Solve : min 0.819083 max 1.39336 -- Solve : min 0.549899 max 1.84611 -- Solve : min 0.793353 max 1.4389 -- Solve : min 0.557873 max 1.77983 -- Solve : min 0.769846 max 1.46633 -- Solve : min 0.569823 max 1.69296 -- Solve : min 0.749323 max 1.47605 -- Solve : min 0.58565 max 1.59117 -- Solve : min 0.73304 max 1.46971 -- Solve : min 0.605293 max 1.4807 -- Solve : min 0.721065 max 1.44969 -- Solve : min 0.628715 max 1.36959 -- Solve : min 0.713423 max 1.42016 -- Solve : min 0.655887 max 1.28184 -- Solve : min 0.710165 max 1.42871 -- Solve : min 0.68678 max 1.21657 -- Solve : min 0.711354 max 1.42545 -- Solve : min 0.72134 max 1.17256 -- Solve : min 0.717071 max 1.41181 -- Solve : min 0.681138 max 1.15718 -- Solve : min 0.72739 max 1.3895 -- Solve : min 0.646935 max 1.15814 -- Solve : min 0.734886 max 1.36027 -- Solve : min 0.620894 max 1.17325 -- Solve : min 0.733534 max 1.32584 -- Solve : min 0.602104 max 1.201 -- Solve : min 0.73568 max 1.28809 -- Solve : min 0.589802 max 1.24008 -- Solve : min 0.741397 max 1.24809 -- Solve : min 0.583367 max 1.28827 -- Solve : min 0.75076 max 1.20827 -- Solve : min 0.582306 max 1.33241 -- Solve : min 0.763823 max 1.17738 -- Solve : min 0.586241 max 1.36818 -- Solve : min 0.78061 max 1.15037 -- Solve : min 0.594886 max 1.39387 -- Solve : min 0.801096 max 1.1214 -- Solve : min 0.608033 max 1.40814 -- Solve : min 0.825185 max 1.09123 -- Solve : min 0.608853 max 1.4102 -- Solve : min 0.825997 max 1.08485 -- Solve : min 0.607304 max 1.39993 -- Solve : min 0.802407 max 1.10059 -- Solve : min 0.61011 max 1.37794 -- Solve : min 0.782421 max 1.13057 -- Solve : min 0.617036 max 1.37218 -- Solve : min 0.766073 max 1.16356 -- Solve : min 0.6279 max 1.36938 -- Solve : min 0.753405 max 1.19094 -- Solve : min 0.642561 max 1.37655 -- Solve : min 0.744465 max 1.21191 -- Solve : min 0.66091 max 1.3734 -- Solve : min 0.739312 max 1.22608 -- Solve : min 0.682854 max 1.36006 -- Solve : min 0.738017 max 1.23337 -- Solve : min 0.708304 max 1.33724 -- Solve : min 0.740656 max 1.23405 -- Solve : min 0.737162 max 1.30639 -- Solve : min 0.747307 max 1.22864 -- Solve : min 0.769307 max 1.2687 -- Solve : min 0.758038 max 1.21784 -- Solve : min 0.804575 max 1.22621 -- Solve : min 0.771161 max 1.21585 -- Solve : min 0.842746 max 1.18262 -- Solve : min 0.767285 max 1.21164 -- Solve : min 0.879438 max 1.18663 -- Solve : min 0.766617 max 1.21705 -- Solve : min 0.849454 max 1.21611 -- Solve : min 0.769222 max 1.21814 -- Solve : min 0.824439 max 1.25728 -- Solve : min 0.775157 max 1.21403 -- Solve : min 0.804266 max 1.29424 -- Solve : min 0.784338 max 1.20521 -- Solve : min 0.788749 max 1.32351 -- Solve : min 0.796886 max 1.19229 -- Solve : min 0.777673 max 1.34377 -- Solve : min 0.812849 max 1.17594 -- Solve : min 0.770813 max 1.35404 -- Solve : min 0.832162 max 1.15698 -- Solve : min 0.767943 max 1.35381 -- Solve : min 0.854685 max 1.13594 -- Solve : min 0.768843 max 1.3431 -- Solve : min 0.880185 max 1.11395 -- Solve : min 0.773302 max 1.3225 -- Solve : min 0.908287 max 1.12348 -- Solve : min 0.771358 max 1.31638 -- Solve : min 0.926386 max 1.15219 -- Solve : min 0.771798 max 1.31697 -- Solve : min 0.910162 max 1.1759 -- Solve : min 0.76992 max 1.3284 -- Solve : min 0.896129 max 1.19396 -- Solve : min 0.766016 max 1.33115 -- Solve : min 0.884382 max 1.20601 -- Solve : min 0.765693 max 1.32507 -- Solve : min 0.874993 max 1.21199 -- Solve : min 0.76874 max 1.31042 -- Solve : min 0.868014 max 1.21209 -- Solve : min 0.774954 max 1.28786 -- Solve : min 0.863481 max 1.20674 -- Solve : min 0.784262 max 1.25842 -- Solve : min 0.861406 max 1.19652 -- Solve : min 0.796507 max 1.2234 -- Solve : min 0.861784 max 1.19054 -- Solve : min 0.811335 max 1.18441 -- Solve : min 0.862723 max 1.1878 -- Solve : min 0.828645 max 1.14298 -- Solve : min 0.858957 max 1.19266 -- Solve : min 0.847881 max 1.10283 -- Solve : min 0.857541 max 1.19744 -- Solve : min 0.829607 max 1.08111 -- Solve : min 0.858493 max 1.19729 -- Solve : min 0.811669 max 1.0803 -- Solve : min 0.856117 max 1.19258 -- Solve : min 0.798068 max 1.09529 -- Solve : min 0.854049 max 1.18374 -- Solve : min 0.78865 max 1.11643 -- Solve : min 0.854346 max 1.17123 -- Solve : min 0.783243 max 1.13463 -- Solve : min 0.857017 max 1.15561 -- Solve : min 0.78167 max 1.1494 -- Solve : min 0.862029 max 1.13756 -- Solve : min 0.783753 max 1.16034 -- Solve : min 0.869271 max 1.11757 -- Solve : min 0.789313 max 1.16719 -- Solve : min 0.878704 max 1.09627 -- Solve : min 0.792385 max 1.17083 -- Solve : min 0.890076 max 1.07428 -- Solve : min 0.792326 max 1.18441 -- Solve : min 0.902992 max 1.05196 -- Solve : min 0.789771 max 1.19404 -- Solve : min 0.891606 max 1.04808 -- Solve : min 0.783807 max 1.19919 -- Solve : min 0.880452 max 1.05929 -- Solve : min 0.781406 max 1.19972 -- Solve : min 0.87165 max 1.07137 -- Solve : min 0.782433 max 1.19801 -- Solve : min 0.865276 max 1.08133 -- Solve : min 0.786748 max 1.20513 -- Solve : min 0.86139 max 1.08896 -- Solve : min 0.794212 max 1.20763 -- Solve : min 0.860032 max 1.09418 -- Solve : min 0.804681 max 1.20547 -- Solve : min 0.861224 max 1.09697 -- Solve : min 0.818002 max 1.19878 -- Solve : min 0.86496 max 1.1024 -- Solve : min 0.834011 max 1.18791 -- Solve : min 0.866075 max 1.11141 -- Solve : min 0.852525 max 1.17351 -- Solve : min 0.864836 max 1.11769 -- Solve : min 0.873296 max 1.15654 -- Solve : min 0.865971 max 1.12117 -- Solve : min 0.896055 max 1.13907 -- Solve : min 0.862908 max 1.12186 -- Solve : min 0.920313 max 1.12973 -- Solve : min 0.859546 max 1.12034 -- Solve : min 0.938543 max 1.14205 -- Solve : min 0.858544 max 1.12516 -- Solve : min 0.926392 max 1.15885 -- Solve : min 0.859948 max 1.12711 -- Solve : min 0.91633 max 1.17166 -- Solve : min 0.863769 max 1.12626 -- Solve : min 0.908401 max 1.18006 -- Solve : min 0.869989 max 1.12276 -- Solve : min 0.90261 max 1.18377 -- Solve : min 0.878563 max 1.11685 -- Solve : min 0.894519 max 1.1827 -- Solve : min 0.889405 max 1.10897 -- Solve : min 0.882043 max 1.17717 -- Solve : min 0.902386 max 1.09959 -- Solve : min 0.872095 max 1.18559 -- Solve : min 0.917328 max 1.08959 -- Solve : min 0.864692 max 1.18948 -- Solve : min 0.933995 max 1.08401 -- Solve : min 0.859817 max 1.18873 -- Solve : min 0.952093 max 1.09546 -- Solve : min 0.857426 max 1.18867 -- Solve : min 0.959589 max 1.10536 -- Solve : min 0.857455 max 1.19758 -- Solve : min 0.953297 max 1.1124 -- Solve : min 0.853249 max 1.20179 -- Solve : min 0.94815 max 1.11649 -- Solve : min 0.849449 max 1.20115 -- Solve : min 0.944199 max 1.11761 -- Solve : min 0.848161 max 1.19569 -- Solve : min 0.941472 max 1.11588 -- Solve : min 0.849314 max 1.18561 -- Solve : min 0.937673 max 1.11296 -- Solve : min 0.852823 max 1.17127 -- Solve : min 0.929651 max 1.11802 -- Solve : min 0.858585 max 1.1532 -- Solve : min 0.923016 max 1.1202 -- Solve : min 0.866421 max 1.13203 -- Solve : min 0.917837 max 1.11952 -- Solve : min 0.875785 max 1.10846 -- Solve : min 0.914167 max 1.1174 -- Solve : min 0.886023 max 1.08339 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